第199章：正阳门城楼高度一步知
书名：北平烽火淬青春：钢铁誓言 作者：青山砺剑
第199章：正阳门城楼高度一步知
林怀安拿着马文冲记录的数据：
基线长度S≈30.2米（估测），在A点测得仰角α≈38.5度（估读），在B点测得仰角β≈31.2度（估读）。他尝试代入胡教员给的公式：
设楼高为h，A点到楼底水平距离为d1，B点到楼底水平距离为d2。则有：
h
=
d1
*
tan(α)
h
=
d2
*
tan(β)
且
d1
-
d2
=
S
（假设A、B、楼底在一条直线上，且A点更近）。
联立可解，但需要计算tan(α)和tan(β)，然后解方程组。
林怀安拿出计算尺，开始笨拙地拉动着滑尺，寻找对应的正切值。
计算尺的精度有限，读起来也费劲。他瞥了一眼旁边的马文冲，他正在一张纸上列着算式，用的是对数表，步骤也很繁琐。
刘明伟干脆放弃了，眼巴巴地看着他们算。
“不对……总觉得……有点麻烦。”
一个念头忽然从林怀安脑海中冒了出来。
这方法固然经典，但需要两个测站，测量两次角度，计算过程也复杂，而且对基线的测量精度和两个测站与楼底是否严格共线要求很高，稍有偏差，结果误差就会很大。
有没有更简单点的办法？郝楠仁的记忆碎片中，似乎有一些关于测量、关于简化计算的模糊印象……
他盯着眼前高大的箭楼，又看看脚下测量用的皮尺，再看看手里的简易经纬仪。
阳光将箭楼的影子斜斜地投射在地上，轮廓清晰。忽然，一个极其简单、几乎不需要复杂计算的方法，如同电光石火般，在他脑海中闪现！
这个方法，源于一个简单的相似三角形原理，甚至……只需要一次观测，一个距离测量！
他心脏猛地一跳，抬起头，看向正在巡视各组的胡教员，欲言又止。
这个方法太简单了，简单到让人觉得“这能行吗”？
会不会是自己想错了？
在数学上，他一向缺乏自信，尤其是经历过月考的挫败之后。
然而，那个念头是如此清晰，逻辑链条在他脑海中飞快地形成、验证。
他看了看周围同学，都还在埋头与复杂的公式和计算尺、对数表搏斗。
一种混合着冲动与不确定的情绪攫住了他。
胡教员正好踱步到他附近，看到林怀安拿着纸笔发呆，以为他被难住了，便开口道：
“林同学，可是卡在计算上了？莫急，一步步来，先查正切表……”
“胡先生，”
林怀安深吸一口气，鼓起勇气，声音不大，但足够清晰，“学生……学生想到一个或许更简便的法子，不知……是否可行？”
“哦？”
胡教员停下脚步，有些意外地看着这个平时在数学课上并不出众，甚至在月考中表现不佳的学生，“更简便的法子？说说看。”
他的语气里带着鼓励，也有一丝探究。
附近几个组的同学也被吸引了注意力，抬起头望过来。
林怀安定了定神，捡起一块石子，在相对平整的泥土地上一边画，一边解释道：
“先生请看，我们可否如此：只在一个测点，比如就这里，A点。”
他在地上点了一个点A，“我们用经纬仪，测出箭楼顶端C的仰角，记为α，这个和之前一样。”
他画了一条水平线代表地面，在A点画了一条斜线AC指向想象中的楼顶C，标出仰角α。
“然后，关键在这里，”
林怀安在水平线上，从A点朝着箭楼反方向（即远离箭楼的方向）量出一段距离，走到另一个点D，使得当我们站在D点，看向箭楼顶端C时，仰角恰好是……”
他停顿了一下，说出那个关键的数字，“恰好是刚才仰角α的一半！
也就是说，在D点测得仰角为
α/2。”
他在水平线上标出了D点，连接D和C，标出仰角为α/2。
“先生，各位同学，请看，”
林怀安的声音因为兴奋和紧张而微微提高，“如果我们能精确找到这个D点，使得
∠ADC
=
α/2，那么，根据平面几何的定理，在三角形ADC中，如果
∠DAC
=
α，∠ADC
=
α/2，那么……”
他故意停顿，看向胡教员。
胡教员的眉头皱了起来，盯着地上的简图，手指无意识地在空气中比划着，喃喃重复：“∠DAC
=
α，∠ADC
=
α/2……
那么，三角形ADC是……等等！”
他眼中骤然爆出一团精光，“等腰三角形！
对！如果三角形ADC中，∠DAC
=
α，∠ADC
=
α/2，那么第三个角
∠ACD
=
180°
-
α
-
α/2
=
180°
-
(3α/2)……
但这不重要！重要的是，如果它是等腰……
不，等等，我们需要的对应边……”
林怀安见胡教员已经进入状态，便不再卖关子，直接点破：
“先生，根据‘三角形外角等于不相邻两内角之和’，我们可以考虑三角形ABD，其中B是楼底垂直落地点。
但实际上，我们有更直接的关系：
如果我们能证明，当∠ADC
=
α/2
时，距离
AD
等于楼高
h
？”
“不，不对……”
胡教员飞快地心算着，忽然猛地一拍大腿，“我明白了！
根本不需要复杂证明！看你这图，A、D、C，如果我们从C点向地面作垂线，垂足B。
在直角三角形ABC中，AB是水平距离，BC是楼高h，我们有
tan(α)
=
h
/
AB。”
“再看直角三角形DBC，DB是水平距离，我们有
tan(α/2)
=
h
/
DB。”
“而
AD
=
AB
-
DB！”
胡教员越说越快，眼睛越来越亮：
“如果，如果我们能找到这个D点，使得仰角恰好是α的一半，那么我们只需要测量出A点到D点的距离，也就是AD的长度！
然后，楼高
h
=
AD
乘以一个系数，这个系数是……”
他立刻蹲下身，捡起一块尖石，在旁边空地上飞快地列起算式。
周围的学生，包括马文冲、刘明伟，还有其他组的同学，都好奇地围拢过来，看着这一老一少在地上写写画画。
胡教员写着：设楼高h，A点水平距离AB
=
L，D点水平距离DB
=
M，AD
=
L
-
M
=
S（我们测量得到的这段距离）。
已知：
tan(α)
=
h
/
L
=>
L
=
h
/
tan(α)
tan(α/2)
=
h
/
M
=>
M
=
h
/
tan(α/2)
所以
S
=
L
-
M
=
h
[
1/tan(α)
-
1/tan(α/2)
]
“这里需要用到半角公式，”
胡教员边写边说，“
tan(α/2)
=
sinα
/
(1+cosα)
……
代入，化简……”
他演算的速度很快，但步骤清晰。
林怀安在一旁看着，心中暗赞，胡教员的基本功果然扎实。
他自己是因为郝楠仁记忆中有这个“一步法”的模糊印象，知其然，而胡教员是立刻在现场推导，知其所以然。
片刻，胡教员抬起头，脸上带着难以置信的惊喜和激动，声音都有些发颤：
“简化后……
h
=
S
*
tan(α/2)
！
天哪！
如此简单！
只需要测量一次仰角α，然后向后走，找到仰角变为α/2的那个点D，测量A到D的距离S，然后楼
高h就等于S乘以tan(α/2)！”
他猛地站起来，目光灼灼地盯着林怀安：
“林怀安！
你这法子……
你这法子妙啊！
大大简化了操作！
只需要一个测站，一次角度测量，再量一段地面距离S即可！
而且，S是直接在地面上量的，比测量到楼底的水平距离容易得多，也准确得多！计算也简单，只需要查一次
tan(α/2)
的值，做一个乘法！”
周围的学生们虽然未必完全跟上推导，但听到胡教员如此激动的肯定，也明白了林怀安想出的办法似乎非常巧妙、高效，看向林怀安的目光顿时充满了惊讶和钦佩。
这个平时在数学上并不显山露水，甚至有些吃力的同学，竟然能想出连教员都称赞不已的妙法？
马文冲眼中异彩连连，抚掌道：
“妙哉！化繁为简，直指核心。
怀安兄此法，颇得‘大道至简’之妙！
省却一次角度观测，免去基线测量与共线之苛求，实为巧思！”
刘明伟更是兴奋地拍着林怀安的肩膀：
“怀安哥！你真行啊！这下可露脸了！”
林怀安被大家看得有些不好意思，尤其是胡教员那炽热的目光，让他脸颊微微发烫。
他连忙道：
“学生也是偶然想到，不知是否确实可行，还需实践验证。”
“验证！当然要验证！”
胡教员大手一挥，兴奋之情溢于言表，“来，就用你这个法子，咱们当场验证！”
他立刻指挥起来。
让林怀安所在小组重新架设仪器，在A点（胡教员选定的原第一个测站位置）仔细测量箭楼顶端的仰角α。
这次，因为只需测一个角，大家格外认真，反复瞄准，最终取得一个相对可靠的读数：α
≈
38度18分（38.3度）。
然后，就是关键的一步：在A点之后（远离箭楼的方向），寻找那个仰角恰好为α/2
≈
19度9分（19.15度）的D点。
这需要一人扶着经纬仪在A点不动，另一人扛着标杆在后方移动，直到经纬仪瞄准标杆顶端时，垂直度盘读数恰好为α/2。
这是个精细活，需要耐心。
胡教员亲自操作经纬仪，让刘明伟扛着标杆，在他的指挥下一点点向后移动、调整。
“左一点……
再往后一点……
好！停！就是这里！标定！”
胡教员大声指挥着。
当标杆位置最终确定，刘明伟气喘吁吁地站在原地，用脚在地上划了个记号作为D点。
接着，用皮尺仔细测量A点到D点的距离S。
这次测量是在近乎水平的直线上进行，比之前测量基线到楼底的“斜距”容易得多，精度也高。
反复测量三次，取平均值，得到
S
≈
16.85
米。
“好！数据都有了！”
胡教员拿着记录的数据，满脸红光，“α
≈
38.3度，α/2
≈
19.15度，S
≈
16.85米。
现在，查表，
tan(19.15度)
是多少？”
马文冲早已准备好三角函数表，迅速查找：“
tan(19°9′)
…
约等于
0.3473。”
“计算
h
=
S
*
tan(α/2)
=
16.85
*
0.3473
…”
胡教员拿出随身携带的怀表式小计算尺，飞快地拉动着，“结果大约是……
5.85米？
不对，这太小了……等等，单位？
哦，S是16.85米，乘以0.3473，大约是5.85米。
这显然不对，箭楼岂止五六米高？”
众人一愣。
林怀安也心里一紧。
难道方法错了？